绝密★启用前
2021年普通高等学校招生全国统一考试(乙卷)
文科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,集合
,则
( )
A. B.
C.
D.
2.设,则
( )
A. B.
C.
D.
3.已知命题﹔命题
﹐
,则下列命题中为真命题的是( )
A. B.
C.
D.
4.函数的最小正周期和最大值分别是( )
A.和
B.
和2 C.
和
D.
和2
5.若满足约束条件
则
的最小值为( )
A.18 B.10 C.6 D.4
6.( )
A. B.
C.
D.
7.在区间随机取1个数,则取到的数小于
的概率为( )
A. B.
C.
D.
8.下列函数中最小值为4的是( )
A. B.
C. D.
9.设函数,则下列函数中为奇函数的是( )
A. B.
C.
D.
10.在正方体中,P为
的中点,则直线
与
所成的角为( )
A. B.
C.
D.
11.设B是椭圆的上顶点,点P在C上,则
的最大值为( )
A. B.
C.
D.2
12.设,若
为函数
的极大值点,则( )
A. B.
C.
D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量,若
,则
_________.
14.双曲线的右焦点到直线
的距离为________.
15.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为
,
,
,则
________.
16.以图①为正视图,在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某三棱锥的三视图,则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________(写出符合要求的一组答案即可).
三、解答题.共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(12分)
某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:
旧设备 | 9.8 | 10.3 | 10.0 | 10.2 | 9.9 | 9.8 | 10.0 | 10.1 | 10.2 | 9.7 |
新设备 | 10.1 | 10.4 | 10.1 | 10.0 | 10.1 | 10.3 | 10.6 | 10.5 | 10.4 | 10.5 |
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和
,样本方差分别记为
和
.
(1)求,
,
,
;
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).
18.(12分)
如图,四棱锥的底面是矩形,
底面
,M为
的中点,且
.
(1)证明:平面平面
;
(2)若,求四棱锥
的体积.
19.(12分)
设是首项为1的等比数列,数列
满足
.已知
,
,
成等差数列.
(1)求和
的通项公式;
(2)记和
分别为
和
的前n项和.证明:
.
20.(12分)
已知抛物线的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足,求直线
斜率的最大值.
21.(12分)
已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)求曲线过坐标原点的切线与曲线
的公共点的坐标.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,
的圆心为
,半径为1.
(1)写出的一个参数方程;
(2)过点作
的两条切线.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数.
(1)当时,求不等式
的解集;
(2)若,求a的取值范围.
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